Analiz Nedir Hakkında Bilgi

Analiz Nedir Hakkında Bilgi
  • 02.06.2013

Analiz Nedir, Analiz Hakkında Bilgi

Analiz, matematikte, Sir Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından 17. yüzyıl sonlarında integral ve diferansiyel hesabın (sonsuz küçükler hesabı) bulunma­sıyla ortaya çıkan kapsamlı matematiksel gelişmeler dizisi. O tarihten bu yana sonsuz seriler, varyasyonlar hesabı, diferansiyel denklemler, Fourier analizi, karmaşık (kompleks) analiz, vektör ve tansör (gerey) analizi ve fonksiyonel analiz gibi birbirle­rinden az ya da çok ayrımlı analiz alanları ortaya çıktı. Matematiğin öbür dalları, özel­likle diferansiyel geometri, kümeler kuramı ve topoloji, analizden kaynaklanan düşün­celerden derin biçimde etkilendi. Sonsuzküçükler hesabının gelişmesiyle, matematiğin daha sonraki yazgısını belirle­yecek çeşitli kavramlar ortaya çıktı. Fonksi­yonların özelliklerini, özellikle maksimum ve minimum değerlerini, düzlemsel bölgele­rin alanlarını ve üçboyutlu bölgelerin alan ve hacimlerini hesaplamada kullanılan yeni teknikler, eskiden güçlükle ulaşılabilen so­nuçların kolayca bulunmasını olanaklı kıldı. Sınırsız ölçüde yakın yaklaşmayla (limit) ilgili önemli kavramlar ve genel denklemle­rin çözümlerine istenilen ölçüde yaklaş­makta limitten yararlanmaya dayanan tek­nikler geliştirildi. Sonsuz seriler, başka bir deyişle, bir fonksiyon ya da bir niceliğin, gittikçe küçülen artışlı sonsuz bir serinin toplamı olarak gösterilmesi geliştirilen bir başka önemli kavramdı. Nevvton ve onun ilk izleyicileri, bu yordamın, sonlu sayıda çokterimliyle yapılan hesaplar için geliştiri­len eski tekniklerin, daha genel matematik­sel ilişkilerin araştırılmasına uyarlanmasını olanaklı kıldığını gördüler. Nevvton ve Leibniz’in, aralarında Bernoulli ailesinin ve Leonhard Euler’in de bulun­duğu ilk izleyicileri, sonsuzküçükler hesabı­nın konusunu ve yaklaşımını, daha sonra standart hale gelecek biçimde tanımlayarak bu hesabın tekniklerini genişlettiler. Özel­likle Euler, trigonometrik, logaritmik ve üstel fonksiyonların özelliklerini araştırdı; bu fonksiyonları seriler biçiminde göstere­rek aralarında birçok ilişki kurdu. Euler ve Bernoulliler, Newton’ın tekniklerini, bir eğrinin ya da yüzeyin tüm biçimine bağlı niceliklere de uyguladılar, böylece varyas­yonlar hesabı ortaya çıkmış oldu. Bu çalış­malar ve Nevvton’ın fiziksel hareketlerin incelenmesinde diferansiyel hesabı kullan­ması, diferansiyel denklemlere , başka bir deyişle, bir ya da birden fazla değişkenli fonksiyonlarla bunların türevleri arasındaki ilişkilere önem kazandırdı. İlk matematiksel analizciler, diferansiyel denklemlerin açık integrallerini ve çözümle­rini, bilinen klasik fonksiyonların sonlu kombinezonları biçiminde ya da hiç değilse bunların sonsuz serileri biçiminde göster­meye çalışmışlardı. Ancak 18. yüzyılın ikin­ci yarısına gelindiğinde, birçok önemli problemin bu denli açık çözümünün olma­dığı anlaşıldı. Sonraki yıllarda belirli for­müller aramak yerine fonksiyon sınıflarının yararlı genel özelliklerinin bulunmasına ağırlık verilmeye başlanmasıyla analiz araş­tırmaları daha nitel hale getirildi. Çok değişkenli fonksiyonlar hesabının, eğrilerin ve uzaydaki eğri yüzeylerin ince­lenmesinde yararlı olduğu görüldü. Cari Friedrich Gauss’un, diferansiyel hesap yön­temlerini geometri sorularının incelenmesi­ne uygulayarak diferansiyel geometriyi kur­ması bunun uygulamalarından biridir.

19. yüzyıl başlarında J.-B.-J. Fourier, her fonksiyonun, sonsuz sinüs ve kosinüs serileriyle gösterilebileceğini kanıtladı. Bu seri­ler, vektörlerin üç boyutlu uzayda gösterilmesine benziyordu. Bu benzerlik, 20. yüz­yılda fonksiyonel analizin gelişmesine önemli katkıda bulundu. A.-L. Cauchy ve başka matematikçiler, sonsuzküçükler hesabını karmaşık fonksi­yonlara uyguladılar. Cauchy, karmaşık de­ğişkenli, türevlenebilir bir fonksiyonun be­lirli bir noktadaki değerinin, başka nokta­lardaki değerlerinin integrali (Cauchy integrali) olarak gösterilebileceğini kanıtladı. Cauchy’nin çalışmaları, sonunda topolojiyle analiz arasındaki ilişkinin kurulmasını sağ­ladı. Bernhard Riemann’ın da üzerinde çalıştığı bu alanda ele alınan konular ancak bir yüzyıl sonra yeterince araştırılabildi.

19. yüzyılda, mantıksal sağlamlığa gösteri­len özenin artması ve analizin temelleri üzerinde sürdürülen eleştirel çalışmalar, özellikle de Cauchy, Richard Dedekind ve Georg Cantor’un çalışmaları, süreklilik kav­ramının, küme kuramının daha ilkel kav­ramlarına aynştırılmasına ve önceki iki yüzyılda geliştirilen analizin tüm yapısının böylesi birkaç ilkeye sağlam bir biçimde dayandınlabileceğinin anlaşılmasına yol açtı.

20. yüzyılda analizin başhca temalarından biri, vektör geometrisiyle fonksiyon toplu­luklarının özellikleri arasındaki benzerlikle­rin işlenmesi oldu. David Hilbert, kimi integralli denklem türleriyle, birden çok değişkenli doğrusal cebirsel denklem sis­temleri arasındaki yakın ilişki üzerinde durdu. Hermann Weyl, Hilbert’in yöntem­lerinin, önemli seri açıhmı sınıflarını basit diferansiyel denklemler yardımıyla elde et­me olanağı yarattığını gösterdi. Fonksiyonel analiz adını alan bu yeni dal, ilke ve tekniklerini soyut ve yetkin formülasyonlar- la ifade eden John von Neumann ve Stefan Banach tarafından sistematik bir biçimde geliştirildi.

Fonksiyonel analiz, fizik ve mühendislik açısından önem taşıyan kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerinin daha temelden kavranmasına yol açtı; ayrıca cebir, analiz ve topoloji arasındaki ilişkilerin ortaya çık­masını sağladı.

 

 

ZİYARETÇİ YORUMLARI

Henüz yorum yapılmamış. İlk yorumu aşağıdaki form aracılığıyla siz yapabilirsiniz.

YORUM YAZ